Question

【题目】若△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，则我们称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．

（1）知识理解：

如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．

①若α＝25°，∠D＝100°，∠C＝28°，则∠BAE＝　 　；

②若AD＝6，DE＝7，AB＝4，则BC＝　 　

（2）知识运用：

如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于点E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．

（3）拓展提高：

如图3，△ABG为等边三角形，点C为AG的中点，点F是AB边上的一点，点D为CF延长线上的一点，点E在线段CF上，且△ABD与△ACE互为“旋转位似图形”．若AB＝6，AD＝4，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①27°；②；（2）见解析； （3）．

【解析】

（1）①依据△ABC和△ADE互为“旋转位似图形”，可得△ABC∽△ADE，依据相似三角形的对应角相等，即可得到∠BAE＝180°﹣100°﹣28°﹣25°＝27°；

②依据△ABC∽△ADE，可得，根据AD＝6，DE＝7，AB＝4，即可得出BC＝；

（2）依据△AOD∽△BOC，即可得到，进而得到△AOB∽△DOC，再根据∠7＝∠8，∠ADC＝∠AEB，即可得到△ABE∽△ACD，进而得出△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；

（3）利用三角函数和勾股定理解答即可．

（1）①∵△ABC和△ADE互为“旋转位似图形”，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠D＝∠B＝100°，

又∵α＝25°，∠E＝28°，

∴∠BAE＝180°﹣100°﹣25°﹣28°＝27°；

②∵△ABC∽△ADE，

∴，

∵AD＝6，DE＝7，AB＝4，

∴，

∴BC＝，

故答案为：27°；；

（2）∵∠DOA＝∠COB，∠DAC＝∠DBC，

∴△DOA∽△COB，

∴，即，

又∵∠DOC＝∠AOB，

∴△AOB∽△DOC，

∴∠DCA＝∠EBA，

又∵∠ADC＝90°，AE⊥BD，

∴∠ADC＝∠AEB＝90°，

∴△ABE∽△ACD，

∴∠DAC＝∠EAB，

∴△AEB绕点A逆时针旋转∠DAE的度数后与△ADC构成位似图形，

∴△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；

（3）∵AC＝AG＝AB＝3，

由题意得：，

∵AD＝4，

∴AE＝2，

∵∠DAE＝∠FAC＝60°，

∴cos∠DAE＝cos60°＝，

∴∠DEA＝90°，

∴由勾股定理可得CE＝，

∴DE＝AEtan∠DAE＝2，

∴．