Question

13．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB．若∠ABC=30°，则AM等于（　　）

• A． 0.5
• B． 1
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 过点M作MG⊥AC，垂足为G．依据圆周角定理可知∠C=90°，然后依据含30度直角三角形的性质可求得AC=1，然后依据切线长定理可求得AM=MC，依据等腰三角形三线合一的性质可求得AG=0.5，接下来，再依据切线的性质可求得∠MAB=90°，然后可求得∠DAG=30°，最后在Rt△AMG中利用特殊锐角三角函数值求解即可．

解答 解：过点M作MG⊥AC，垂足为G．

∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°．
又∵∠ABC=30°，AB=2，
∴AC=1，∠CAB=60°．
∵AD为⊙O的切线，
∴∠DAB=90°．
∴∠MAC=30°．
由切线长定理可知MC=MA．
又∵MG⊥AC，
∴AG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$．
在Rt△AMG中，∠MAG=30°，
∴$\frac{AG}{AM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{0.5}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是切线的性质、切线长定理、圆周角定理、直角三角形的性质、特殊锐角三角函数值的应用，求得∠AMG的度数以及AG的长是解题的关键．