Question

1．在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，BC=2+2$\sqrt{3}$，D是BC边上异于B、C的一动点，将△ABD沿AB翻折得到△ABD₁，将△ACD沿AC翻折到△ACD₂，则四边形D₁BCD₂的面积的最大值是多少？

Answer 1

分析 根据折叠的性质得到S${\;}_{△AB{D}_{1}}$=S_△ABD，S${\;}_{△AC{D}_{2}}$=S_△ACD，AD₁=AD₂=AD，∠D₁AD₂=2∠BAC=150°，于是得到S${\;}_{四边形{D}_{1}BC{D}_{2}}$=2S_△ABC-S${\;}_{△A{D}_{1}{D}_{2}}$，当四边形D₁BCD₂的面积的最大时，AD⊥BC，解直角三角形得到CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，BC=BD+CD=AD+$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2+2$\sqrt{3}$，求出AD=2$\sqrt{3}$，即可得到结论．

解答 解：∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD₁，将△ACD沿AC翻折到△ACD₂，
∴D₁，D₂是D关于直线AB，AC的对称点，
∴S${\;}_{△AB{D}_{1}}$=S_△ABD，S${\;}_{△AC{D}_{2}}$=S_△ACD，AD₁=AD₂=AD，∠D₁AD₂=2∠BAC=150°，
∴S${\;}_{四边形{D}_{1}BC{D}_{2}}$=2S_△ABC-S${\;}_{△A{D}_{1}{D}_{2}}$，
∴当四边形D₁BCD₂的面积的最大时，AD⊥BC，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，BC=BD+CD=AD+$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2+2$\sqrt{3}$，
∴AD=2$\sqrt{3}$，
∴S${\;}_{四边形{D}_{1}BC{D}_{2}}$=2S_△ABC-S${\;}_{△A{D}_{1}{D}_{2}}$=12+4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}×2\sqrt{3}$sin150°=9+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了折叠的性质，三角形的面积的求法，最大值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．