Question

6．如图，在矩形纸片ABCD中，BC=10，CD=8，如图，折叠纸片，试点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当A′在BC上运动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定Q只能在AD上移动，则线段PQ的最小值为5$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点A′到达最左边，当点P与点B重合时，点A′到达最右边，所以点A′就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时PQ的长度，即可得到线段PQ的最小值为5$\sqrt{5}$．

解答 解：在矩形纸片ABCD中，BC=10，CD=8，
∴AB=CD=8，AD=BC=10，
如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
A′D=AD=10，A′P=AP，
在Rt△A′CD中，A′C²=A′D²-CD²，
∴A′C=6，A′B=4，
在Rt△A′BP中，A′P²=PB²+A′B²，
∴A′P²=（8-A′P）²+4²，
∴A′P=5，
∴PQ=$\sqrt{A′{P}^{2}+A′{D}^{2}}$=5$\sqrt{5}$
如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得A′B=AB=8，
∴PQ=$\sqrt{A{B}^{2}+A{Q}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
∵5$\sqrt{5}$＜8$\sqrt{2}$，
∴线段PQ的最小值为5$\sqrt{5}$，
故答案为：5$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．