Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°以AB为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；根据题意结合图形，证明∠ODE=90°，即可解决问题．
（2）首先求出BC=6，进而求出BD的值；运用直角三角形的性质求出AD的值，即可解决问题．

解答： （1）证明：连接OD、BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°；
又∵点E为BC的中点，
∴BE=DE，
∴∠BDE=∠EBD；
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA；    
又∵∠OAD+∠OBD=90°，∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠OAD=∠EBD，即∠ODA=∠BDE；
∴∠ODE=∠BDE+∠ODB=∠ODA+∠ODB=90°，
又∵点D在⊙O上，
∴DE是圆⊙O的切线．
（2）解：由（1）知BC=2DE=6，
又∵∠CBD=∠BAC=30°，
∴CD=3，BD=3

3

∴AB=6

3

；
由勾股定理得：AD=9．

点评：该题主要考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握圆周角定理及其推论、勾股定理等知识点是解题的关键．