Question

在△ABC中，BC=a，AB=c，设c为最长边，当a²+b²=c²时，△ABC是直角三角形；当a²+b²≠c²时，利用代数式a²+b²和c²的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、6、6时，三角形为

 

三角形；当△ABC三边分别为6、6、10时，三角形为

 

三角形；
（2）猜想，若c为最长边，则当a²+b²

 

c²时；△ABC为锐角三角形；当a²+b2

c²时；△ABC为钝角三角形，不用说明理由．
（3）当a=2，b=4，且b、c都有可能为最长边时，要构成三角形可知2＜c＜6，判断△ABC的形状不同时，所对应的c取值范围．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理

专题：探究型

分析：（1）由等边三角形的定义即可判断当△ABC三边分别为6、6、6时，三角形为等边三角形；利用勾股定理列式求出两直角边为6、6时的斜边的值，然后即可判断当△ABC三边分别为6、6、10时，三角形的形状；
（2）根据（1）中的计算作出判断即可；当a²+b²＞c²时，△ABC为锐角三角形；当a²+b²＜c²时，△ABC为钝角三角形；
（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解

解答： 解：（1）当△ABC三边分别为6、6、6时，三角形为等边三角形，
两直角边分别为6、6时，斜边=

62+62

=

72

，
当△ABC三边分别为6、6、10时，10＞

72

，所以△ABC为钝角三角形；
故答案为：等边；钝角；
（2）当a²+b²＞c²时，△ABC为锐角三角形；
当a²+b²＜c²时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：＞；＜；
（3）∵c为最长边，2+4=6，
∴4≤c＜6，
a²+b²=2²+4²=20，
①a²+b²＞c²，即c²＜20，0＜c＜2

5

，
∴当4≤c＜2

5

时，这个三角形是锐角三角形；
②a²+b²=c²，即c²=20，c=2

5

，
∴当c=2

5

时，这个三角形是直角三角形；
③a²+b²＜c²，即c²＞20，c＞2

5

，
∴当2

5

＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．

点评：本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．