Question

19．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，连接AP．直线BE垂直于直线AP，交AP于点E，直线CF垂直于直线AP，交AP于点F．

（1）当点P在BD上时（如图①），求证：CF=BE+EF；
（2）当点P在DC上时（如图②），CF=BE+EF还成立吗？若不成立，请画出图形，并直接写出CF、BE、EF之间的关系（不需要证明）．
（3）若直线BE的延长线交直线AD于点M（如图③），找出图中与CP相等的线段，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）如图①，先利用等角的余角相等得到∠ACF=∠BAE，则可根据“AAS”判定△ACF≌△BAE，得到AF=BE，CF=AE，由于AE=AF+EF，所以CF=BE+EF；
（2）如图②，与（1）一样可证明△ACF≌△BAE得到AF=BE，CF=AE而AE=AF-EF，易得CF=BE-EF；
（3）先判断△ABC为等腰直角三角形，由于点D是BC的中点，则AD⊥BC，再利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则可根据“ASA”判判断△AEM≌△CFP，于是得到AM=CP．

解答 （1）证明：如图①，
∵AF⊥AP，BE⊥AP，
∴∠AFC=90°，∠AEB=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°，
而∠CAF+∠BAE=90°，
∴∠ACF=∠BAE，
在△ACF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠BEA}\\{∠ACF=∠BAE}\\{AC=BA}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴AF=BE，CF=AE，
而AE=AF+EF，
∴CF=BE+EF；
（2）解：CF=BE+EF不成立．
如图②，
与（1）一样可证明△ACF≌△BAE，
∴AF=BE，CF=AE，
而AE=AF-EF，
∴CF=BE-EF；
（3）CP=AM．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEM和△CFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AE=CF}\\{∠AEM=∠CFP}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△CFP（ASA），
∴AM=CP．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．