Question

6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD=20cm，BD=16cm，BC=24cm，点E在边AC上，且△ADE与△BCD相似．
（1）若AC=45cm，求AE的长；
（2）若△CDE的周长为75cm，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由BC²=BD•BA，∠B=∠B，得到：△BCD∽△BAC，可得∠BCD=∠A．接下来分两种情形，解决这个问题．
（2）充分利用两个相似三角形对应边成比例，解决问题．

解答 解：（1）∵BC=24，BD=16，AD=20，
∴BC²=BD•BA，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{BA}{BC}$，∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A
∵△ADE与△BCD相似，
情形①当∠AED=∠B，∵∠A=∠DCB，△ADE∽△BCD
∵∠AED=∠B，∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
即$\frac{20}{45}=\frac{AE}{36}$，
∴AE=16，
情形②的当∠ADE=∠B时，△ADE∽△CBD，
∴DE∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
即$\frac{20}{36}=\frac{AE}{45}$，
∴AE=25，
综上所述：AE的长是16或25；
（2）①如图当△ADE2∽△CBD时，∵∠ADE=∠B，∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE2}{E2C}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}$，
设AE2=5K，E2C=4K，由$△BCD∽△BAC得到：\frac{DC}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$，∴DC=6K，
∵$\frac{DE2}{BC}=\frac{AD}{AB}，得到：DE2=\frac{40}{3}$，
∵DE2+E2C+CD=75，
∴6K+4K+$\frac{40}{3}=75$，
∴K=$\frac{37}{6}$，AC=9K=$\frac{111}{2}$
②如图当△ADE1∽△CDB时，∵∠A=∠A，∠AE1D=∠B，∴△ADE1∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE1}{AB}$，由②可知：CD：AC=2：3，设CD=2K，AC=3K，
则易知：AE1=$\frac{240}{K}$，CE1=3K-$\frac{240}{K}$，由：$\frac{AD}{AC}=\frac{DE1}{BC}，得到：DE1=\frac{160}{K}$，
∵DE1+E1C+CD=75，
∴$\frac{160}{K}+2k+3K-\frac{240}{K}=75$，
整理得到：K²-15K-16=0，
K1=16，（K2=-1舍弃），
∴AC=3K=48．

点评 本题目考查了相似三角形的性质和判断，由数量关系得到相似关系，是数形结合的好题目．同时考查了分类思想，培养严谨的数学思考习惯．