Question

12．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知BC=6，∠BAC+∠EAD=180°，则圆心A到DE的距离等于3．

Answer 1

分析 作AH⊥DE于H，作直径EF，连结DF，先利用等角的补角相等得到∠BAC=∠DAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到BC=DF=6，由AH⊥DE，根据垂径定理得EH=DH，易得AH为△EDF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=$\frac{1}{2}$DF=3．

解答 解：作AH⊥DE于H，作直径EF，连结DF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠DAE+∠DAF=180°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{DF}$，
∴BC=DF=6，
∵AH⊥DE，
∴EH=DH，
∵EA=AF，
∴AH为△EDF的中位线，
∴AH=$\frac{1}{2}$DF=3．
∴圆心A到DE的距离等于：3．
故答案是：3．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．