Question

18．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，EB=$\frac{1}{2}$DC，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，求证：CD平分∠ACB．

Answer 1

分析 延长BE、CA交与点F，根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF，再利用“角边角”证明△AFB≌△ADC；可得CD=BF，利用“SAS”证明△BCE和△FCE全等，根据全等三角形得出∠BCE=∠FCE即可．

解答 证明：如图，

∵BE⊥CD，∠BAC=90°，
∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，
∠ABF+∠F=180°-90°=90°，
∴∠ACD=∠ABF，
在△AFB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠ABF}\\{AB=AC}\\{∠CAD=∠BAF}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△ADC（ASA）；
∴CD=BF，
∵EB=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$BF，
∴BE=EF，
在△BCE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CE}\\{∠CEB=∠CEF}\\{BE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FCE（ASA），
∴∠BCE=∠FCE，
∴CD平分∠ACB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法，正确作出辅助线，并准确识图是解题的关键．