Question

9．（1）如图，已知在△ABC中，D在BC上，DB=DC，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，求证：AB=AC；
（2）若把条件“D在BC上”点改成“D在△ABC内部”，其他条件不变，结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，也请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用HL证明Rt△BED与Rt△DFC全等，进而得出∠B=∠C，利用等角对等边证明即可；
（2）利用HL证明Rt△BED与Rt△DFC全等，进而得出∠EBD=∠FCD，进而得出∠ABC=∠ACB，利用等角对等边证明即可．

解答 证明：（1）∵DB=DC，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，
在Rt△BED与Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴Rt△BED≌Rt△DFC（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）成立，理由如下：
∵DB=DC，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，
在Rt△BED与Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴Rt△BED≌Rt△DFC（HL），
∴∠EBD=∠FCD，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用HL证明Rt△BED与Rt△DFC全等．