Question

如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；

（2）求出点D的坐标为（﹣，0），根据△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判断出直线l与⊙E相切与A．

（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M（m， m+4），P（m，﹣ m²+m﹣4），得到PM=m+4﹣（﹣m²+m﹣4）=m²﹣m+8=（m﹣2）²+，根据△PQM的三个内角固定不变，得到PQ最小=PM_最小•sin∠QMP=PM_最小•sin∠AEO=×=，从而得到最小距离．

【解答】解：（1）如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4，

∵OC⊥AB，

∴由垂径定理得，OB=OA=4，

OC=OE+CE=3+5=8，

∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），

∵抛物线的顶点为C，

∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）²，

将点B的坐标代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=﹣，

∴y=﹣（x﹣8）²，

∴y=﹣x²+x﹣4为所求抛物线的解析式，

（2）在直线l的解析式y=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=﹣，

∴点D的坐标为（﹣，0），

当x=0时，y=4，

∴点A在直线l上，

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵=， =，

∴=，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，

∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直线l与⊙E相切与A．

（3）如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．

设M（m， m+4），P（m，﹣ m²+m﹣4），则

PM=m+4﹣（﹣m²+m﹣4）=m²﹣m+8=（m﹣2）²+，

当m=2时，PM取得最小值，

此时，P（2，﹣），

对于△PQM，

∵PM⊥x轴，

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，

∴△PQM的三个内角固定不变，

∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，

∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM_最小•sin∠QMP=PM_最小•sin∠AEO=×=，

∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，﹣）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为．

【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、切线的判定和性质、二次函数的最值等知识，在解答（3）时要注意点P、点M坐标的设法，以便利用二次函数的最值求解．