Question

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．

（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）在Rt△ODC中，根据射影定理即可求出OB的长，由此可得到B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）易知△AOD是等腰Rt△，若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，那么△PQM也必须是等腰Rt△；由于∠QPM≠90°，因此本题分两种情况：

①PQ为斜边，M为直角顶点；②PM为斜边，Q为直角顶点；

首先求出直线AD的解析式，进而可得到M点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标，即可得到PQ的长；在①中，PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在②中，PQ的长正好等于M、P横坐标差的绝对值，由此可求出符合条件的P点坐标；

（3）①若四边形PQNM是菱形，首先必须满足四边形PMNQ是平行四边形，此时MN与PQ相等，由此可得到P点坐标，然后再判断PQ是否与PM相等即可；

②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，因此本题只需考虑MN∥PQ这一种情况；若四边形PMNQ是等腰梯形且MN、PQ为上下底，那么根据等腰梯形的对称性可知：Q、P的纵坐标的和应该等于N、M的纵坐标的和，据此可求出P、Q的坐标，然后再判断QN与PM是否平行即可．

【解答】解：（1）在Rt△BDC中，OD⊥BC，

由射影定理，得：OD²=OB•OC；

则OB==1；

∴B（﹣1，0）；

∴B（﹣1，0），C（4，0），E（0，4）；

设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4）（a≠0），则有：

a（0+1）（0﹣4）=4，a=﹣1；

∴y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x²+3x+4；

（2）因为A（﹣2，0），D（0，2）；

所以直线AD：y=x+2；

联立，

解得或，

则F（1﹣，3﹣），G（1+，3+）；

设P点坐标为（x，x+2）（1﹣＜x＜1+），则Q（x，﹣x²+3x+4）；

∴PQ=﹣x²+3x+4﹣x﹣2=﹣x²+2x+2；

易知M（，），

若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形；

①以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|x_M﹣x_P|，即：

﹣x²+2x+2=2（﹣x），

解得x=2﹣，x=2+（不合题意舍去）

∴P（2﹣，4﹣）；

②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|x_M﹣x_Q|，

即：﹣x²+2x+2=﹣x，

解得x=，x=（不合题意舍去）

∴P（，）

故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2﹣，4﹣）或（，）；

（3）易知N（，），M（，）；

设P点坐标为（m，m+2），

则Q（m，﹣m²+3m+4）；（1﹣＜m＜1+）

∴PQ=﹣m²+2m+2，NM=；

①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有：

MN=PQ，

即：﹣m²+2m+2=，

解得m=，m=（舍去）；

当m=时，P（，），Q（，）

此时PM=≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形；

②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，

所以若四边形PMNQ是等腰梯形，只有一种情况：PQ∥MN；

依题意，则有：（y_N﹣y_Q）=（y_P﹣y_M），

即（y_N+y_M）=（y_P+y_Q），

即+=﹣m²+3m+4+m+2，

解得m=，m=（舍去）；

当m=时，P（，），Q（，），此时NQ与MP不相等，

∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（，）．

【点评】此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定，等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件．