Question

4．已知，□ABCD中∠ABC=90°，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）如图1，求AF的长．
（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm，设运动时间为t秒，若当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）①先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
②根据勾股定理即可求AF的长；
（2）分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}\\{∠AEF=∠CFE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF（AAS）．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．即四边形AFCE为平行四边形．

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理，得
16+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5．
（2）由作图可以知道，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，
∴PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=t，QA=12-0.8t，
∴t=12-0.8t，
解得：t=$\frac{20}{3}$．
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=$\frac{20}{3}$秒．

点评 本题考查了矩形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时分析清楚动点在不同的位置所构成的图形的形状是解答本题的关键．