Question

16．如图，AC⊥BC，垂足为C，BC=4，AC=3，⊙O与直线AC、BC、AB相切于点D、E、F，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 根据AC、BA、BC与⊙O相切于点D、F、E；由勾股定理可得：BF=BE，AF=AD，CD=CE；可用DC分别表示出BE、BF的长，根据BF=BE，得出CD的表达式；连接OD、OE；易证得四边形ODCE是正方形，即OE=OD=CD，由此可求出⊙O的半径．

解答 解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵BC=4，AC=3，
∴AB=5，
连接OD、OE；
∵AC、BE是⊙O的切线，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°；
∴四边形ODCE是矩形；
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE=OD=CD；
设CD=CE=x，则AD=AF=3-x；
连接OB，OF，
由勾股定理得：BF²=OB²-OF²，BE²=OB²-OE²，
∵OB=OB，OF=OE，
∴BF=BE，
则BA+AF=BC+CE，5+3-x=4+x，即x=2；
故⊙O的半径为2．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．