Question

12．如图，在一张矩形纸片中，AB=4，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C恰好与点A重合，点D落在点D′处
（1）求EC的长度；
（2）证明：四边形AFCE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质，AE=CE，则DE=AD-AE=AD-CE=8-CE，在Rt△CDE中，CE²=DE²+CD²，解方程即可；
（2）先证明四边形AFCE是平行四边形，再由翻折得AF=CF，则四边形AFCE是菱形．

解答 解：（1）根据折叠的性质，AE=CE，
∴DE=AD-AE=AD-CE=8-CE，
在Rt△CDE中，CE²=DE²+CD²，
∴CE²=（8-CE）²+4²，
解得：CE=5；
（2）如图，
连接BD，则BD过点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠OBF=∠ODE，
在△OBF和△ODE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBF=∠ODE}\\{OB=OD}\\{∠BOF=∠ODE}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△ODE，
∴BF=DE；
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
由翻折得，AF=CF，
∴四边形AFCE是菱形．

点评 此题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定，注意掌握辅助线的作法，灵活利用图形的性质解决问题．