Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，直线与轴，轴分别交于点A和点B.抛物线经过A,B两点，且对称轴为直线，抛物线与轴的另一交点为点C.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S；

抛物线上是否还存在其它点M,使△ABM的面积等于中的最大值S,若存在，求出满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点F为线段OB上一动点，直接写出的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）E(-2,-4）,4；②存在，；（3）

【解析】

（1）求出AB两点坐标，利用待定系数法即可求解；

（2）设点E的坐标为，当△ABE的面积最大时，点E在抛物线上且距AB最远，此时E所在直线与AB平行，且与抛物线只有一个交点.设点E所在直线为l：y=-x+b，与二次函数联立方程组，根据只有一个交点，得，求出b，进而求出点E坐标；

抛物线上直线AB上方还存在其它点M,使△ABM的面积等于中的最大值S，此时点M所在直线与直线AB平行,且与直线l到直线AB距离相等，求出直线解析式，与二次函数联立方程组，即可求解；

（3）如图，作 交x轴于点G，作FP⊥BG，于P，得到，所以当C、F、P在同一直线上时， 有最小值，作CH⊥GB于H，求出CH即可．

解：（1）在中分别令x=0，y=0，可得点A(-4,0)，B(0,-4)，

根据A,B坐标及对称轴为直线，可得方程组

解方程组可得

∴抛物线的函数表达式为

（2）①设点E的坐标为，当△ABE的面积最大时，

点E在抛物线上且距AB最远，此时E所在直线与AB平行，且与抛物线只有一个交点.设点E所在直线为l：y=-x+b.

联立得方程，消去y

得，据题意；

解之得，直线l的解析式为y=-x-6,

联立方程，解得，

∴点E(-2,-4），

过E作y轴的平行线可求得△ABE面积的最大值为4.

②抛物线上直线AB上方还存在其它点M,使△ABM的面积等于中的最大值S，此时点M所在直线与直线AB平行,且与直线l到直线AB距离相等，易得直线是直线l向上平移4个单位，

∴解析式为y=-x-2,与二次函数联立方程组可得

方程组解之得

∴存在两个点，

（3）如图，作 交x轴于点G，作FP⊥BG于P，

则是直角三角形，

∴,

∴,

∴当C、F、P在同一直线上时， 有最小值，

作CH⊥GB于H，

在中，∵

∴,,

∵A(-4,0)，抛物线对称轴为直线，

∴点C坐标为（2,0），

∴,

∴ 在中， ,

∴的最小值为．