Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；

（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6；（2）S△PBC＝﹣3m2+9m（0＜m＜3）；（3）M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣）

【解析】

（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出△PBC面积的最大值；

（3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点M，点N的坐标即可．

（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，

得：，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．

（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．

当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，

∴点C的坐标为（0，6）．

设直线BC的解析式为y＝kx+c，

将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：

，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．

设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），

∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，

∴，

∴当时，△PBC面积取最大值，最大值为 ．

∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，

∴0＜m＜3．

（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．

如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，

∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，

∴△MCD∽△NCM，

若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，

设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），

∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，

当 时，△COB∽△CDM∽△CMN，

∴ ，

解得，a＝1，

∴M（1，8），

此时，

∴N（0，），

当时，△COB∽△MDC∽△NMC，

∴ ，

解得 ，

∴M（，），

此时N（0，）．

如图3，当点M位于点C的下方，

过点M作ME⊥y轴于点E，

设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），

∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，

同理可得：或，△CMN与△OBC相似，

解得或a＝3，

∴M（，）或M（3，0），

此时N点坐标为，N（0，）或N（0，﹣）．

综合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），，N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．