Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（ ）

A.14B.15

C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

连接EC，CH，设AB交CR于点J，先证得△ECP∽△HCQ，可得，进而可求得CQ＝10，AC:BC＝1:2，由此可设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得，，利用等积法求得，进而可求得CR的长．

解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J，

∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，

∴∠ACE＝∠BCH＝45°，

∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，

∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，

∴点E、C、H在同一直线上，点A、C、I在同一直线上，

∵DE∥AI∥BH，

∴∠CEP＝∠CHQ，

∵∠ECP＝∠QCH，

∴△ECP∽△HCQ，

∴，

∵PQ＝15，

∴PC＝5，CQ＝10，

∵EC:CH＝1:2，

∴AC:BC＝1:2，

设AC＝a，则BC＝2a，

∵PQ⊥CR，CR⊥AB，

∴CQ∥AB，

∵AC∥BQ，CQ∥AB，

∴四边形ABQC为平行四边形，

∴AB＝CQ＝10，

∵，

∴，

∴（舍负）

∴，，

∵，

∴，

∵JR＝AF＝AB＝10，

∴CR＝CJ＋JR＝14，

故选：A．