Question

【题目】已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE，且∠DCE＝90°．

（1）如图①，当△ABC和△ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；

（2）如图②，当BA＝BC＝2AC，DA＝DE＝2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；

（3）如图③，当AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系．

Answer 1

【答案】（1）CD2+BD2＝AD2，理由见解析；（2）CD2+BD2＝AD2，理由见解析；（3）（mCD）2+（pBD）2＝（nAD）2

【解析】

（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而判断出△ABD≌△ACE，最后用勾股定理即可得出结论；

（2）先判断出△ABC∽△ADE，进而得出∠BAC＝∠DAE，即可判断出△BAD∽△CAE，最后用勾股定理即可得出结论；

（3）先判断出△ABC∽△ADE，进而得出∠BAC＝∠DAE，即可判断出△BAD∽△CAE，最后用勾股定理即可得出结论．

解：（1）CD2+BD2＝AD2，

理由：∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

在Rt△DCE中，

CD2+CE2＝DE2，

∴CD2+BD2＝AD2，

（2）CD2+BD2＝AD2，

理由：∵BA＝BC＝2AC，DA＝DE＝2AE，

∴，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵，

∴△BAD∽△CAE，

∴＝2，

∴BD＝2CE，

在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，

∴CD2+BD2＝AD2，

（3）（mCD）2+（pBD）2＝（nAD）2，

理由：∵AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝m：n：p，

∴DE＝AD，△ABC∽△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，

∵，

∴△ABD∽△ACE，

∴，

∴CE＝BD，

在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，

∴CD2+BD2＝AD2，

∴（mCD）2+（pBD）2＝（nAD）2