Question

11．将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．

（1）如图①，若∠A=40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB=140度，∠DBC+∠DCB=90度，∠ABD+∠ACD=50度；
（2）如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．
（3）如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°-∠A．
（3）由（1）（2）的解题思路可得：∠ACD-∠ABD=90°-∠A．

解答 解：（1）在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，
在△DBC中，∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=140°-90°=50°；
故答案为：140；90；50．                             
（2）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．             
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°．                
∴∠ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）=180°-∠A-90°．
∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A．                         
（3）∠ACD-∠ABD=90°-∠A．

点评 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是360°，解答的关键是沟通外角和内角的关系．