Question

4．如图所示，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AD=12，BD=16，AB=20，CD=9．
（1）试说明AD⊥BC．
（2）求AC的长及△ABC的面积．
（2）判断△ABC是否是直角三角形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件推知AD²+BD²=AB²，然后利用勾股定理的逆定理推得结论；
（2）在直角△ACD中，利用勾股定理可以求得AC的长度，由三角形的面积公式来求三角形ABC的面积即可；
（3）利用勾股定理的逆定理进行证明．

解答 解：（1）∵AD²+BD²=12²+16²=400，AB²=20²=400，
∴AD²+BD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=90°即AD⊥BC；
                                    
（2）∵∠ADB=90°，且点D为BC边上的一点，
∴∠ADC=90°，
∴由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=15，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×205×12=150；

（3）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵AC²+AB²=13²+20²=625，BC²=25²=625，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．