Question

如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，∠BAO=45°，点A坐标为（8，0）．动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）若点A、B、O与平面内点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标；
（3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）考虑三种情况，如图所示，四边形AOBE₁为平行四边形时；四边形ABE₂O为平行四边形时；四边形ABOE₃为平行四边形时，分别求出E的坐标即可；
（3）分两种情况考虑：当P在OB上时，连接PQ，根据PQ的长及三角形OPQ为等腰直角三角形，求出OP的长，确定出此时P坐标；当P′在AB上时，过P′作P′M⊥x轴，确定出此时P′坐标即可．

解答：解：（1）∵∠BAO=45°，∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，即OA=OB=8，
∴B（0，8），
设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（8，0）与B（0，8）代入得：

8k+b=0 b=8

，
解得：k=-1，b=8，
则直线AB解析式为y=-x+8；
（2）如图所示：当四边形AOBE₁为平行四边形时，E₁坐标为（8，8）；
当四边形ABE₂O为平行四边形时，E₂坐标为（-8，8）；
当四边形ABOE₃为平行四边形时，E₃坐标为（8，-8）；
（3）当P在OB上时，连接PQ，由PQ=2，
在Rt△POQ中，OP=OQ，可得：OP=OQ=

2

2

×2=

2

，此时P（0，

2

）；
当P′在AB上时，过P′作P′M⊥x轴，
∵P′Q′=2，△P′Q′M为等腰直角三角形，
∴P′M=Q′M=

2

，OM=OB-P′M=8-

2

，
此时P′（8-

2

，

2

）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．