点P为△ABC内一点.如果∠PAC=∠PBC.那么我们称点P为△ABC关于A.B的等角点．(1)如图1.在△ABC中.AC=BC.PA=PB.求证:P是△ABC关于A.B的等角点,(2)如图2.在△ABC中.AC=BC.点D是AB边的中点.点P为△ABC关于A.B的等角点.PE⊥BC于点E.PF⊥AC于点F.求证:DE=DF,中的“AC=BC 改成“AC≠BC .其他条件不变.求证:DE=DF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．点P为△ABC内一点，如果∠PAC=∠PBC，那么我们称点P为△ABC关于A，B的等角点．
（1）如图1，在△ABC中，AC=BC，PA=PB，求证：P是△ABC关于A，B的等角点；
（2）如图2，在△ABC中，AC=BC，点D是AB边的中点，点P为△ABC关于A，B的等角点，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，求证：DE=DF；
（3）如图3，若将第（2）中的“AC=BC”改成“AC≠BC”，其他条件不变，求证：DE=DF．

分析（1）根据等腰三角形的性质即可得到结果．
（2）通过△PFA≌△PEB 和△DFA≌△DEB，就看得到结论；
（3）分别取PA，PB的中点M，N，连接FM，DM，DN，NE，由P是△ABC关于A、B的等角点，得到∠PAC=∠PBC，∠PMF=∠PNE，由于DM，DN都是△PAB的中位线，推出DM∥BP，DM=$\frac{1}{2}$BP，DN∥$\frac{1}{2}$AP，DN=$\frac{1}{2}$AP，由于DM=$\frac{1}{2}$BP，EN=$\frac{1}{2}BP$，DN=$\frac{1}{2}$AP，MF=$\frac{1}{2}AP$，得到DM=EN，DN=MF，根据△DMF≌△DNE，得到结论DF=DE．

解答（1）证明∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠PBC=∠PAC，
∴P是△ABC关于A、B的等角点；

（2）证明∵P是△ABC关于A、B的等角点，
∴∠PAC=∠PBC，
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
∴∠PAB=∠PBA，
∴PA=PB，
∴PF⊥AC，PE⊥BC，
∴∠PFA=∠PEB
∵∠PBC=∠PAC，PA=PB，
在△PFA与△PEB 中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFA=∠PEB}\\{∠PBA=∠PAC}\\{PA=PB}\end{array}\right.$，
∴△PFA≌△PEB，
∴FA=EB
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵∠BAC=∠ABC，FA=EB，
在△DFA与△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠BAC=ABC}\\{FA=EB}\end{array}\right.$，
∴△DFA≌△DEB，
∴DF=DE，

（3）证明：分别取PA，PB的中点M，N，连接FM，DM，DN，NE，
∵∠AFP=∠BEP=90°，
∴MF=AM=$\frac{1}{2}AP$，EN=BM=$\frac{1}{2}BP$，
∴∠PAC=∠AFM，∠PAE=∠BEN，
∴∠PMF=2∠PAC，∠PNE=2∠PBC，
∵P是△ABC关于A、B的等角点，
∴∠PAC=∠PBC，
∴∠PMF=∠PNE，
∵DM，DN都是△PAB的中位线，
∴DM∥BP，DM=$\frac{1}{2}$BP，DN∥$\frac{1}{2}$AP，DN=$\frac{1}{2}$AP，
∴∠DMP+∠APB=180°，∠DNP+∠APB=180°，
∴∠DMP=∠DNP，
∵∠PMF=∠PNE，
∴∠DMF=∠DNE，
∵DM=$\frac{1}{2}$BP，EN=$\frac{1}{2}BP$，DN=$\frac{1}{2}$AP，MF=$\frac{1}{2}AP$，
∴DM=EN，DN=MF，
在△DMF与△DNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=EN}\\{∠DMF=DNE}\\{MF=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△DNE，
∴DF=DE．