Question

3．如图，在矩形OABC中，点A在x轴的正半轴，点C在y轴的正半轴．抛物线y=$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4经过点B，C，连接OB，D是OB上的动点，过D作DE∥OA交抛物线于点E（在对称轴右侧），过E作EF⊥OB于F，以ED，EF为邻边构造?DEFG，则?DEFG周长的最大值为$\frac{243}{40}$．

Answer 1

分析 将x=0代入二次函数解析式求出点C的坐标，根据对称性即可找出点B的坐标，由点O、B的坐标利用待定系数法即可求出直线OB的解析式，在Rt△OAB中，利用勾股定理可求出OB的长度，由DE∥OA即可得出∠BOA=∠EDF，进而得出EF=$\frac{4}{5}$DE，利用平行四边形的周长公式可求出?DEFG周长=$\frac{18}{5}$DE，设点D的坐标为（$\frac{3}{4}$m，m），则点E的坐标为（$\frac{3}{4}$$\sqrt{m}$+$\frac{3}{2}$，m），再利用两点间的距离公式结合配方法即可求出DE的最大值，从而得出?DEFG周长的最大值．

解答 解：当x=0时，y=$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4=4，
∴点C（0，4）；
∵y=$\frac{16}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+4=4$（\frac{2}{3}x-1）^{2}$，
∴抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
∵四边形OABC为矩形，
∴B（3，4）．
设直线OB的解析式为y=kx，
将B（3，4）代入y=kx中，
4=3k，解得：k=$\frac{4}{3}$，
∴直线OB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x．
在Rt△OAB中，OA=3，AB=4，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=5．
∵DE∥OA，
∴∠BOA=∠EDF，
∵EF⊥OB，
∴$\frac{EF}{DE}=\frac{AB}{OB}$
∴EF=$\frac{4}{5}$DE，
∴?DEFG周长=2（EF+DE）=$\frac{18}{5}$DE．
设点D的坐标为（$\frac{3}{4}$m，m），则点E的坐标为（$\frac{3}{4}$$\sqrt{m}$+$\frac{3}{2}$，m），
∴DE=$\frac{3}{4}$$\sqrt{m}$+$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{4}$m=-$\frac{3}{4}$（m-$\sqrt{m}$）+$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{4}$$（\sqrt{m}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{27}{16}$，
∴当m=$\frac{1}{4}$时，DE取最大值$\frac{27}{16}$，此时?DEFG周长取最大值$\frac{243}{40}$．
故答案为$\frac{243}{40}$．

点评 本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值、待定系数法求正比例函数解析式、勾股定理、平行四边形的性质以及平行线的性质，根据平行四边形的性质找出?DEFG周长=$\frac{18}{5}$DE是解题的关键．