Question

已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF交CD于点G，FH平分∠EFD交EG于点H，KG⊥EG交MN于点K，
（1）求证：FH∥KG；
（2）在（1）的条件下，连接HK，R为KG上一点，∠RHK=∠FHK，HP平分∠EHR交MN于点P，求∠PHK的度数．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：

分析：（1）由平行线的性质和角平分线的定义可求得∠HEF+∠HFE=90°，可得∠EHF=∠HGK，可证明FH∥KG；
（2）如图2，结合平行的性质及角平分线的定义可求得可求得∴∠PHR=

1

2

∠EHR=45°+∠2，又∠PHR=∠1+∠2+∠3，可求得∠1+∠2的度数，可求得∠PHK．

解答：（1）证明：如图1，

∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，
∴∠BEF=2∠HEF，∠DFE=2∠HFE，
∴2∠HEF+2∠HFE=180°，
∴∠HEF+∠HFE=90°，
∴∠EHF=90°，
∵KG⊥EG，
∴∠KGH=∠EHF=90°，
∴FH∥KG；
（2）解：如图2，

由（1）∠FHG=∠EHF=90°，且∠2=∠3，
∴∠RHG=90°-2∠2，
∴∠EHR=180°-∠RHG=180°-（90°-2∠2）=90°+2∠2，
∴∠PHR=

1

2

∠EHR=45°+∠2，又∠PHR=∠1+∠2+∠3，
∴∠1+∠2+∠3=45°+∠2，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠1+∠2=45°，即∠PHK=45°．

点评：本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行?同位角相等，②两直线平行?内错角相等，③两直线平行?同旁内角互补，④a∥b，b∥c?a∥c．