Question

2．如图，函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+m相交于点A和点B．过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，P为线段AB上的一点，连接PE、PF．若△PAE和△PBF的面积相等，且x_P=-$\frac{5}{2}$，x_A-x_B=-3，则k的值是（　　）

• A． -5
• B． $-\frac{7}{2}$
• C． -2
• D． -1

Answer 1

分析 由题意可得x_A、x_B是方程$\frac{k}{x}$=$\frac{1}{2}$x+m即x²+2mx-2k=0的两根，根据根与系数的关系可得x_A+x_B=-2m，x_A•x_B=-2k．易得x_A•y_A=x_B•y_B=k，由S_△PAE=S_△PBF可求出y_P，然后把点P的坐标代入y=$\frac{1}{2}$x+m就可求出m，再根据x_A-x_B=-3就可求出k的值．

解答 解：由题意可得：x_A、x_B是方程$\frac{k}{x}$=$\frac{1}{2}$x+m即x²+2mx-2k=0的两根，
∴x_A+x_B=-2m，x_A•x_B=-2k．
∵点A、B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴x_A•y_A=x_B•y_B=k．
∵S_△PAE=S_△PBF，
∴$\frac{1}{2}$y_A（x_P-x_A）=$\frac{1}{2}$（-x_B）（y_B-y_P），
整理得x_P•y_A=x_B•y_P，
∴-$\frac{5}{2}$$\frac{k}{{x}_{A}}$=x_B•y_P，
∴-$\frac{5}{2}$k=x_A•x_B•y_P=-2ky_P，．
∵k≠0，
∴y_P=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×（-$\frac{5}{2}$）+m=$\frac{5}{4}$，
∴m=$\frac{5}{2}$．
∵x_A-x_B=-3，
∴（x_A-x_B）²=（x_A+x_B）²-4x_A•x_B=（-2×$\frac{5}{2}$）²+8k=9，
∴k=-2．
故选C．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求直线的解析式、根与系数的关系、完全平方公式等知识，运用根与系数的关系是解决本题的关键．