Question

11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，根据等腰三角形的性质得到∠DCE=∠DEC，等量代换证明结论；
（2）根据垂径定理得到OE是CD的垂直平分线，根据题意证明△DEC为等边三角形，证明结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠A=∠AEB；
（2）∵DC⊥OE，
∴DF=CF，
∴OE是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，又DE=DC，
∴△DEC为等边三角形，
∴∠AEB=60°，又∠A=∠AEB，
∴△ABE是等边三角形．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质和垂径定理的应用，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．