Question

2．小明拿两个大小不等直角三角板作拼图，如图①小三角板的斜边与大三角板直角边正好重合，已知：AD=1，∠B=∠ACD=30°．
（1）AB的长4；四边形ABCD的面积=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$（直接填空）；
（2）如图2，若小明将小三角板ACD沿着射线AB方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点A沿AB方向锁经过的线段长度），当点D平移到线段大三角板ABC的边上时，求出相应的m的值；
（3）如图3，小明将小三角板ACD绕点A顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ACD为△AC′D′，在旋转过程中，设C′D′所在的直线与直线BC交于点P，与直线AB交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接求出此时D′Q的长；若不存在，请说明理由

Answer 1

分析 （1）根据30度的直角三角形的性质，求出AC、CD、AB、BC即可解决问题；
（2）如图2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．求出DF、DE即可解决问题；
（3）分三种情形求解①如图3中，当BP=BQ时，②如图4中，当BQ=PQ时，③如图5中，当BP=BQ时，分别求解即可；

解答 解：（1）如图1中，

在Rt△ACD中，∵AD=1，∠ACD=30°，
∴AC=2CD=2，CD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACB中，∵∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，BC=$\sqrt{3}$AC=2$\sqrt{3}$，
∴四边形ABCD的面积=S_△ACD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$$•1•\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$•2•2$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
故答案为4，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

（2）如图2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．

∴∠DFA=∠BAC=60°=∠DAF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF=AD=DF=CF=1，∵FE∥AB，
∴CE=EB，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴当点D平移到线段大三角板ABC的边上时，相应的m的值为1或3．

（3）①如图3中，当BP=BQ时，在AD′上取一点E使得AE=EQ．

∵∠PBQ=30°，
∴∠AQD′=75°，∵∠AD′Q=90°，
∴∠EAQ=∠EQA=15°
∴∠QED′=30°，设D′Q=x，则AE=EQ=2x，ED′=$\sqrt{3}$x，
∴2x+$\sqrt{3}$x=1，
∴x=2-$\sqrt{3}$，
∴D′Q=2-$\sqrt{3}$．

②如图4中，当BQ=PQ时，易知∠AQD′=60°，D′Q=AD•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．


③如图5中，当BP=BQ时，易知∠AQC′=∠C′AQ=15°，∴AC′=C′Q，∴D′Q=D′C+C′Q′=$\sqrt{3}$+2．

综上所述，当△PBQ是等腰三角形时，D′Q的值为2-$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\sqrt{3}$+2．

点评 本题考查四边形综合题、旋转变换、30度的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．