题目内容
如图，在等边△ABC中，B（-1，0）、C（1，0），以底边BC的垂直平分线和BC所在直线建立平面直角坐标系，把△ABC绕着点C顺时针旋转60°的得到△DEF，（旋转后D与A、E与B、F与C对应）（1）求：经过A、B、D三点的抛物线解析式
②在抛物线的对称轴上存在一点，使得以点C、D、M为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点M的坐标；
（3）在直线BD上方的抛物线上是否存在一点P，使得△PBD的面积S△PBD=
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考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）根据旋转的性质和等边三角形的性质求出AD∥x轴，然后写出点D的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据二次函数的对称性，AD与对称轴垂直，所以交点即为所求的点M；点D为直角顶点时，利用相似三角形对应边成比例求出CM，然后写出点M的坐标即可；
（3）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD的解析式，设过点P与y轴平行的直线与直线BD相交于点Q，表示出PQ，再利用三角形的面积公式和平行四边形的面积公式列出方程，求出x值，然后利用抛物线解析式求解即可．
（2）根据二次函数的对称性，AD与对称轴垂直，所以交点即为所求的点M；点D为直角顶点时，利用相似三角形对应边成比例求出CM，然后写出点M的坐标即可；
（3）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD的解析式，设过点P与y轴平行的直线与直线BD相交于点Q，表示出PQ，再利用三角形的面积公式和平行四边形的面积公式列出方程，求出x值，然后利用抛物线解析式求解即可．
解答：解：（1）∵等边△ABC绕着点C顺时针旋转60°的得到△DEF，（旋转后D与A、E与B、F与C对应），
∴∠CAD=∠ACB=60°，
∴AD∥x轴，
∵B（-1，0）、C（1，0），
∴BC=2，AO=
×2=
，
∴点A的坐标为（0，
），点D的坐标为（2，
），
设经过A、B、D三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则
，
解得
，
所以，抛物线解析式为y=-
x2+
x+
；
（2）∵AD∥x轴，
∴点M为AD与对称轴的交点时∠CMD=90°，
此时，M1（1，
），
若点D为直角顶点，则△CDM1∽△CM2D，
∴
=
，
即
=
，
解得CM2=
，
此时，点M2（1，
），
综上所述，M1（1，
），M2（1，
）时，以点C、D、M为顶点的三角形是直角三角形；
（3）设直线BD的解析式为y=kx+b，
则
，
解得
，
所以，y=
x+
，
设过点P与y轴平行的直线与直线BD相交于点Q，
则PQ=（-
x2+
x+
）-（
x+
）=-
x2+
x+
，
∵S△PBD=
S四边形ABCD，
∴
×（-
x2+
x+
）×（2+1）=
×2×
，
整理得，x2-x-1=0，
解得x1=
，x2=
，
所以，y1=
+
，y2=
-
，
所以，点P的坐标为（
，
+
）或（
，
-
）．
∴∠CAD=∠ACB=60°，
∴AD∥x轴，
∵B（-1，0）、C（1，0），
∴BC=2，AO=
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∴点A的坐标为（0，
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设经过A、B、D三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则
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解得
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所以，抛物线解析式为y=-
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2
| ||
| 3 |
| 3 |
（2）∵AD∥x轴，
∴点M为AD与对称轴的交点时∠CMD=90°，
此时，M1（1，
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若点D为直角顶点，则△CDM1∽△CM2D，
∴
| CM1 |
| CD |
| CD |
| CM2 |
即
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| 2 |
| CM2 |
解得CM2=
4
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此时，点M2（1，
4
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综上所述，M1（1，
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4
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（3）设直线BD的解析式为y=kx+b，
则
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解得
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所以，y=
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| 3 |
设过点P与y轴平行的直线与直线BD相交于点Q，
则PQ=（-
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2
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∵S△PBD=
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∴
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2
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整理得，x2-x-1=0，
解得x1=
1+
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1-
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所以，y1=
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5
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所以，点P的坐标为（
1+
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1-
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5
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| ||
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点评：本题是二次函数综合题，主要利用了旋转的性质，等边三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，直角三角形的性质，难点在于（2）要分情况讨论，（3）表示出△PBD的面积．
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如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA等于（ ）A、2
| ||
B、2
| ||
C、3
| ||
D、2
|
代数式-
，
，x+y，
，
，
，
中是分式的有（ ）
| 3x |
| 2 |
| 4 |
| x-y |
| x2+1 |
| π |
| 7 |
| 8 |
| 5b |
| 3a |
| x2 |
| x |
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
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| x+3 |
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| A、10m | B、12m |
| C、15m | D、40m |