Question

13．如图，在△ABA₁中，∠B=20°，AB=A₁B，在A₁B上取一点C，延长AA₁到A₂，使得A₁A₂=A₁C；在A₂C上取一点D，延长A₁A₂到A₃，使得A₂A₃=A₂D；…，按此做法进行下去，∠A₂₀₁₆的度数为$（\frac{1}{2}）^{2015}•80°$．

Answer 1

分析 先根据等腰三角形的性质求出∠BA₁A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA₂A₁，∠DA₃A₂及∠EA₄A₃的度数，找出规律即可得出∠A_n的度数．

解答 解：∵在△ABA₁中，∠B=20°，AB=A₁B，
∴∠BA₁A=$\frac{180°-∠B}{2}$=80°，
∵A₁A₂=A₁C，∠BA₁A是△A₁A₂C的外角，
∴∠CA₂A₁=$\frac{∠B{A}_{1}A}{2}$=$\frac{80°}{2}$=40°；
同理可得，
∠DA₃A₂=20°，∠EA₄A₃=10°，
∴∠A_n=$\frac{80°}{{2}^{n-1}}$，
∴∠A₂₀₁₆=$\frac{80°}{{2}^{2015}}$，
故答案为：=$\frac{80°}{{2}^{2015}}$．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA₂A₁，∠DA₃A₂及∠EA₄A₃的度数，找出规律是解答此题的关键．