Question

18．如图，二次函数y=x²-4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，点P在x轴的上方的抛物线图象上，且∠PCB=∠OCA，求P点坐标．

Answer 1

分析 由抛物线解析式求出点A、B、C的坐标，得出OA=1，OB=OC=3，设∠PCB=∠OCA=α，得出tanα=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，由两角和的正切公式得出tan∠OCP=tan（45°+α）=2，作PD⊥y轴于D，设PD=x，则CD=$\frac{1}{2}$x，得出点P坐标为（x，3-$\frac{x}{2}$），再代入抛物线得出方程，解方程即可．

解答 解：∵二次函数y=x²-4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，
当y=0时，x²-4x+3=0，
解得：x=1，或x=3，
∴A（1，0），B（3，0）；
当x=0时，y=3，
∴C（0，3）；
∴OA=1，OB=OC=3，
∴∠OCB=45°，
设∠PCB=∠OCA=α，
则tanα=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠OCP=tan（45°+α）=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-1×\frac{1}{3}}$=2，
作PD⊥y轴于D，如图所示：
设PD=x，则CD=$\frac{1}{2}$x，
∴点P坐标为（x，3-$\frac{x}{2}$）代入抛物线得：x²-4x+3=3-$\frac{x}{2}$，
解得：x=$\frac{7}{2}$，或x=0（不合题意，舍去），
∴3-$\frac{x}{2}$=$\frac{5}{4}$，
∴P点坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、等腰直角三角形的判定与性质、两角和的正切公式等知识；本题有一定难度，由两角和的正切公式得出tan∠OCP=tan（45°+α）=2是解决问题的关键．