Question

7．在△ABC中，∠ABC=90°，AC=BC，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E，直线l绕点C旋转时，DE、AD、BE具有怎样的数量关系？说出你的猜想，并证明．

Answer 1

分析 画出如图1、2、3，分三种情况：
（1）DE=AD+BE，首先证明△ACD≌△CBE，可得AD=CE，CD=BE，进而得到DE=CE+CD=AD+BE；
（2）DE=AD-BE，首先证明△ADC≌△CEB，可得AD=CE，DC=BE，进而得到DE=AD-BE；
（3）与（2）类似，可证出DE=BE-AD

解答 解：（1）DE=AD+BE．
证明：∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DAC和△ECB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠ECB}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；
（2）DE=AD-BE；
∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）DE=BE-AD．
和（2）一样可证△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．