Question

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4交y轴于点A，交x轴于B、C两点且B在C左边．设点P是直线AC下方抛物线上的点（不与A、C重合），过P作PQ∥y轴交线段AC于Q，若点P的横坐标为x，连接PA、PC．
（1）用x的代数式表示线段PQ的长；
（2）设△PAC的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线的解析式求出A、B、C的坐标，然后根据待定系数法求得直线AC的解析式，根据题意若点P的横坐标为x，则P（x，$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4），Q（x，-$\frac{4}{5}$x+4），进而即可求得线段PD；
（2）S=S_△APQ+S_△PQC=$\frac{1}{2}$PQ•OC即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4交y轴于点A，交x轴于B、C两点且B在C左边．
∴令x=0，y=4，令y=0，则$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4=0，解得x₁=1，x₂=5，
∴A（0，4），B（1，0），C（5，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{5}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{4}{5}$x+4，
∵PQ∥y轴交线段AC于Q，若点P的横坐标为x，
∴P（x，$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4），Q（x，-$\frac{4}{5}$x+4），
∴PQ=（-$\frac{4}{5}$x+4）-（$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4）=-$\frac{4}{5}$x²+4x；
（2）∵S=S_△APQ+S_△PQC=$\frac{1}{2}$PQ•OC，
∴S=$\frac{1}{2}$（-$\frac{4}{5}$x²+4x）×5=-2x²+10x（0＜x＜5）．

点评 本题考查了直线和抛物线的交点，待定系数法求直线的解析式和抛物线的解析式以及三角形面积等，求得P、Q点的坐标是解题的关键．