Question

【题目】在矩形中，，，是的一点，且，是上一点，射线交的延长线于点，交于点，连结，，交于点．

（1）当点为中点时，则 ， ；（直接写出答案）

（2）在整个运动过程中，的值是否会变化，若不变，求出它的值；若变化，请说明理由；

（3）若为等腰三角形时，请求出所有满足条件的的长度．

Answer 1

【答案】（1）8，；（2）不变，；（3）或1或

【解析】

如图1，过G作GH⊥AD于H，先证明AE=AM=2，得∠AEM=∠DEF=45°，则DF=DE=8，再求CG的长，根据勾股定理计算EG的长；

（2）根据ME⊥EG，证明△AME∽△HEG，△EHG∽△FDE，可得，可得∠EGM=∠EFG．可得∠MGF=90°，由三角函数定义可得结论；

（3）设AM=m，则BM=4-m，DF=4m，证明△MBG∽△GCF，表示CG=8-2m，BG=2+2m．分三种情况进行讨论，根据平行线分线段成比例定理和三角函数定义列等式可得结论．

（1）如图1，过G作GH⊥AD于H，

∵点M为AB中点，AB=4，

∴AM=2，

∵AE=2，

∴AE=AM=2，

∴DE=10-2=8，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠CDA=90°，

∴∠AEM=∠DEF=45°，

∴DF=DE=8，

∵EG⊥ME，

∴∠MEG=90°，

∴∠HEG=∠EGH=45°，

∴GH=EH=4，

∴，

故答案为： 8，

（2）∵

∴，

∴，

∴，

∴∠EGM=∠EFG．

∴∠EGM=∠EFG．

∵∠EGF+∠EFG=90°，

∴∠EGF+∠EGM=90°，即∠MGF=90°，

∴．

（3）设，则，，∴．

∵，∴，

∴，

∴，．

（ⅰ）当时，过点作于点，

则，

∴．

∵，∴，即

∴

解得或（舍去）．

（ⅱ）当是，．

∵，∴，

∴．

过点作于点，则，

∴，

∴．

（ⅲ）当时，．

∵，∴，

∴

∴

∴．

综上所述：当或1或时，为等腰三角形．