Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1，0)和点B(4，0)，且与y轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；

(3)当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；（3）线段EG的最小值为..

【解析】

（1）根据抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0）和点B（4，0），应用待定系数法，求出该抛物线的解析式即可；

（2）首先根据三角形的面积的求法，求出△CAD的面积，即可求出△PDB的面积，然后求出BD=2，即可求出|n|=3，据此判断出n=3或-3，再把它代入抛物线的解析式，求出x的值是多少，即可判断出点P的坐标；

（3）首先应用待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，然后根据点P的坐标是（m，n），求出点F的坐标，再根据二次函数最值的求法，求出EG2的最小值，即可求出线段EG的最小值．

解：（1）把A（-1，0），B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx+2中，可得

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2））∵抛物线的解析式为，

当x=0时，y=2，

∴点C的坐标是（0，2），

∵点A（-1，0）、点D（2，0），

∴AD=2-（-1）=3，

∴S△CAD =，

∴S△PDB =3，

∵点B（4，0）、点D（2，0），

∴BD=2，

∴|n|=3×2÷2=3，

∴n=3或-3，

①当n=3时，

，

解得：m=1或m=2，

∴点P的坐标是（1，3）或（2，3）；

②当n=-3时，

解得m=5或m=-2，

∴点P的坐标是（5，-3）或（-2，-3）；

综上，可得点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；

（3）如图，

设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，

∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），

∴，

解得：，

∴BC所在的直线的解析式是：，

∵点P的坐标是（m，n），

∴点F的坐标是（4-2n，n），

∴

，

∴当时，线段EG有最小值：，

∴线段EG的最小值为.