Question

18．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0）和（3，0）．对于下列结论：①abc＞0；②b-2a=0；③a-b+c＜0；④a+b+c＞0；⑤b²-4ac＞0．其中结论正确的是（　　）

• A． ①②⑤
• B． ①⑤
• C． ②③
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 首先根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出①的正误；根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出②的正误；③当x=-1时y=0，故③错误；④由图象可知：当x=1时y＜0，故④错误；⑤由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b²-4ac＞0，故⑤正确．

解答 解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a＞0．抛物线与y交与负半轴，则c＜0，
对称轴：x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
①∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），
∴对称轴是x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b+2a=0，
故②错误；
③当x=-1时y=0，
∴a-b+c=0；故③错误；
④由图象可知：当x=1时y＜0，
∴a+b+c＜0；故④错误；
⑤由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b²-4ac＞0，故⑤正确；
故选B．

点评 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．