Question

设P是正方形ABCD的外接圆的劣弧AD上任意一点，则PA+PC与PB的比值为

 

．

Answer 1

考点：圆内接四边形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：

分析：首先根据题意画出图形，然后延长PA到E，使AE=PC，连接BE，易证得△ABE≌△CBP，继而可证得△BEP是等腰直角三角形，则可求得答案．

解答：解：延长PA到E，使AE=PC，连接BE，
∵∠BAE+∠BAP=180°，∠BAP+∠PCB=180°，
∴∠BAE=∠PCB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABE和△CBP中，

AB=BC ∠BAE=∠PCB AE=CP

，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE=∠CBP，BE=BP，
∴∠ABE+∠ABP=∠ABP+∠CBP=90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PA+PC=PE=

2

PB．
故答案为：

2

．

点评：此题考查了圆的内接多边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．