Question

11．已知A（-2，3），B（2，1），P点在x轴上，若PA+PB长度最小，则点P坐标为（1，0）；若PA-PB长度最大，则点P坐标为（4，0）．

Answer 1

分析 找到B点关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，即可得到要求的P点，再根据一次函数的性质，找到各点的坐标，即可得出答案．根据三角形的性质，两边之差小于第三边，连接AB交x轴于点P，即可得到要求的P点．

解答 解：求最小值：如图所示：
，
作B点关于x轴的对称点B'，连接AB′，交x轴于点P，
∵B和B′对称，
∴PB=PB′，
∴AP+BP=PA+B′P，
根据两点之间线段最短可知P点为所求．
∵已知A（-2，3），B（2，1），
∴B′坐标为（2，-1），
则可求得最短距离为AB′的长度，AB′=$\sqrt{（2+2）^{2}+（3+1）^{2}}=4\sqrt{2}$，
∴PA+PB长度最小，则最小值为4$\sqrt{2}$．
直线AB'的解析式为y=mx+n，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=3}\\{2m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
把y=0代入y=-x+1，可得：x=1，
所以点P的坐标为（1，0）；
求最大值：如图所示：
，
连接AB并延长，交x轴于点P，
任取一点P'，连接AP'、BP'，
在△ABP'中，根据三角形的性质，两边之差小于第三边，
即AP'-BP'＜AB，
∴可知AB为所求的最大值，
∵已知A（-2，3），B（2，1），
∴直线AB的解析式为y=ax+b，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=3}\\{2a+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.5}\\{b=2}\end{array}\right.$，
把y=0代入y=-0.5x+2中，可得：x=4，
所以点P的坐标为（4，0）．
故答案为：（1，0）；（4，0）．

点评 本题属于综合性的试题，包含了一次函数的应用、对称图形的性质、三角形的性质以及最大值最小值的求法．解决这类题目要求对于所学的各种知识点要能够融会贯通，达到“信手拈来”的地步．