Question

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AF是⊙O的切线，若AE=3，AF=CD，则FC是⊙O的切线．
（1）求证：四边形AFCD是菱形；
（2）求AF的长．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质得AB⊥AF，则AF∥CD，CE=DE，所以AC=AD，再利用AF=CD可判断四边形AFCD为平行四边形，所以CF∥AD，连接OC，OC的反向延长线交AD于M，如图，利用CF为切线得到OC⊥CF，所以AM=DM，则CA=CD，然后利用CD=DA可判断四边形AFCD是菱形；
（2）先判定△ACD为等边三角形得到∠ACD=60°，在Rt△ACE中，易得CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=$\sqrt{3}$，所以CD=2CE=2$\sqrt{3}$，从而得到AF的长．

解答 （1）证明：∵AF是⊙O的切线，
∴AB⊥AF，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴AF∥CD，CE=DE，
∴AC=AD，
而AF=CD，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴CF∥AD，
连接OC，OC的反向延长线交AD于M，如图，
∵CF为切线，
∴OC⊥CF，
∴OC⊥AD，
∴AM=DM，
∴CM垂直平分AD，
∴CA=CD，
∴CD=DA，
∴四边形AFCD是菱形；
（2）解：∵AC=AD=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
在Rt△ACE中，CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=2$\sqrt{3}$，
∴AF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形的判定和解直角三角形．