如图.反比例函数$y=\frac{k}{x}$与y=mx交于A.B两点.设点A.B的坐标分别为A(x1.y1).B(x2.y2).S=|x1y1|.且$\frac{3}{s-1}=\frac{4}{s}$.(1)求k的值,(2)当m变化时.代数式$\frac{{x} {1}{y} {2}}{(m+1)^{2}}+\frac{2{x} {2}{y} {1}}{m+1}$是否为一个固� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$与y=mx交于A，B两点，设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），S=|x₁y₁|，且$\frac{3}{s-1}=\frac{4}{s}$，
（1）求k的值；
（2）当m变化时，代数式$\frac{（{m}^{2}-1）{x}_{1}{y}_{2}}{（m+1）^{2}}+\frac{2{x}_{2}{y}_{1}}{m+1}$是否为一个固定的值？若是，求出其值，若不是，请说理由；
（3）点C在y轴上，点D的坐标是（-1，$\frac{3}{2}$），若将菱形ACOD沿x轴负方向平移m个单位，在平移过程中，若双曲线与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围．

分析（1）根据已知条件得到k＜0，由于$\frac{3}{s-1}=\frac{4}{s}$，于是得到s=4，k=-4；
（2）根据反比例函数的图象是关于原点O的中心对称图形，由于OA=OB，于是得到x₁=-x₂，y₁=-y₂，x₁y₂=x₂y₁，代入代数式即可得到结论；
（3）如图，根据平移的性质得到D'（-1-m，$\frac{3}{2}$），得到点D'的纵坐标为3，代入函数y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）即可得到结论．

解答解：（1）反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二四象限，
∴k＜0，
∵$\frac{3}{s-1}=\frac{4}{s}$，
解得：s=4，
∴k=-|x₁y₁|=-s=-4，

（2）∵反比例函数的图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OA=OB，
∴x₁=-x₂，y₁=-y₂，
∴x₁y₂=x₂y₁，
$\frac{（{m}^{2}-1）{x}_{1}{y}_{2}}{（m+1）^{2}}+\frac{2{x}_{2}{y}_{1}}{m+1}$=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}}{（m+1）^{2}}（{m}^{2}-1+2m+2）$=x₂y₁=x₂•（-$\frac{4}{{x}_{1}}$）=4，
∴代数式是否为一个固定的值4；

（3）如图，
将菱形ACOD沿x轴负方向平移m个单位，
使得点D′落在反比例函数y=-$\frac{4}{x}$的图象的D'处，
过点D'做x轴的垂线，垂足为F，
∵D的坐标是（-1，$\frac{3}{2}$），
∴D'（-1-m，$\frac{3}{2}$），
∴点D'的纵坐标为3，
∵D'落在函数y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）的图象上，
∴$\frac{3}{2}$=-$\frac{4}{x}$，
∴x=-$\frac{8}{3}$，
∴-1-m=-$\frac{8}{3}$，
∴m=$\frac{5}{3}$，
∴m的取值范围：0≤m≤$\frac{5}{3}$．