Question

方程7[x]-27{x}=1的解集是

 

．（[x]表示不超过实数x的最大整数，{x}=x-[x]，表示实数x的小数部分）

Answer 1

考点：取整计算

专题：

分析：首先将{x}=x-[x]代入方程，即可得到：x=

34

27

[x]-

1

27

，利用性质[x]≤x＜[x]+1，即可确定[x]的取值，则可求得方程7[x]-27{x}=1的解集．

解答：解：∵7[x]-27{x}=1，{x}=x-[x]，
∴7[x]-27（x-[x]）=1，
∴x=

34

27

[x]-

1

27

，
∵[x]≤x＜[x]+1，
∴[x]≤

34

27

[x]-

1

27

＜[x]+1，
∴27[x]≤34[x]-1＜27[x]+27，
∴

27[x]≤34[x]-1 34[x]＜27[x]+27

，
解得：
∴

1

7

≤[x]＜4，
∴[x]=1，2，3，
∴方程7[x]-27{x}=1的解集为：
x₁=

34

27

[x]-

1

27

=

34

27

×1-

1

27

=

33

27

，
x₂=

34

27

[x]-

1

27

=

34

27

×2-

1

27

=

67

27

，
x₃=

34

27

[x]-

1

27

=

34

27

×3-

1

27

=

101

27

，
故答案为：

33

27

，

67

27

，

101

27

．

点评：此题考查了取整函数的性质．注意性质[x]≤x＜[x]+1与{x}=x-[x]的应用．