Question

17．如图，以⊙O的弦AB为边向圆外作正方形ABCD，分别过点D、C作⊙O的切线DM、CN，切点分别为M、N．
（1）求证：DM=CN；
（2）若AB=2，DM=2$\sqrt{2}$，求⊙的半径．

Answer 1

分析 （1）先连接OA、OB，OM，ON，OD，OC，根据OA=OB，得出∠OAB=∠OBA，再根据ABCD是正方形，得出∠DAB=∠ABC=90°，从而证出△OAD≌△OBC中，即可而得出OC=OD，然后根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）先作OH⊥AB垂足为H，延长OH交DC于点G，设半径为r，根据AB=2，得出AH=HB=1，根据勾股定理得出OH²+1²=r²，r²+DM²=OD²，（OH+2）²+1²=OD²，求出OH的长，即可得出⊙O的半径．

解答 解：（1）如图1，连接OA、OB，OM，ON，OD，OC，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠OAD=∠OBC，
在△OAD和△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠OAD=∠OBC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴OD=OC，
在Rt△MDO与Rt△NCO中，$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{OD=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△MDO≌Rt△NCO，
∴DM=CN；

（2）如图2，作OH⊥AB垂足为H，延长OH交DC于点G，
设半径为r，则
∵AB=2，
∴AH=HB=1，
∴OH²+1²=r²，
∵DM切⊙O于M，
∴∠OMD=90°，
∴r²+DM²=OD²，
在△ODG中，
∵OG²+DG²=OD²，
∴（OH+HG）²+AH²=OD²，
∴（OH+2）²+1²=OD²，
解得：OH=1，
∴r=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了切线的性质和正方形的性质，用到的知识点是全等三角的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、切线的性质，关键是作出辅助线，构造直角三角形．