Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AB=AD，若BC+CD=6，则四边形ABCD的面积为（　　）

• A、4
• B、9
• C、16
• D、25

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：由BD是⊙O的直径，AB=AD，可得△ADB为等腰直角三角形，则AD=

2

2

BD，根据三角形面积公式得S_△ADB=

1

4

BD²，即BD²=4S_△ADB，再利用完全平方公式，由BC+CD=6得BC²+CD²+2BC•CD=36，而BC²+CD²=BD²，S_△DCB=

1

2

BC•CD，所以BD²+4S_△DCB=36，易得4S_△ADB+4S_△DCB=36，于是可计算出S_{四边形ABCD}=9．

解答：解：∵BD是⊙O的直径，AB=AD，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴由勾股定理可得：
AD=

2

2

BD，
∴S_△ADB=

1

2

AD²=

1

4

BD²，
∴BD²=4S_△ADB，
∵BC+CD=6，
∴BC²+CD²+2BC•CD=36，
∵BC²+CD²=BD²，S_△DCB=

1

2

BC•CD，
∴BD²+4S_△DCB=36，
即4S_△ADB+4S_△DCB=36，
∴S_△ADB+S_△DCB=9，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ADB+S_△DCB=9．
故选B．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．