Question

11．关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），给出以下说法：
（1）若△=b²-4ac＞0，则方程cx²+bx+a=0一定有两个不相等的实根
（2）若x₀是方程的一个根，△=（2ax₀+b）²
（3）若b²＞5ac，在方程一定有两个不相等的实数根
（4）若b=2a+3c，则方程必有两个不相等的实数根
其中，正确说法的序号是（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则△=b²-4ac＞0，当c=0时，cx²+bx+a=0不成立；
（2）用求根公式表示x₀．
（3）根据b²＞5ac可以得到b²-4ac＞0，从而证得方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．
（4）把b=2a+3c代入b²-4ac计算得到（2a+3b）²-4ac=4a²+8ac+9b²=4（a+c）²+5c²，而a≠0，则有b²-4ac＞0，于是可对（4）进行判断．

解答 解：（1）当c=0时不成立；
（2）若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，可得x₀=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，把x₀的值代入（2ax₀+b）²，可得b²-4ac=（2ax₀+b）²；
（3）∵b²＞5ac，∴b²-5ac＞0，∴b²-4ac＞0，∴方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．
（4）当2a+3c=b，则b²-4ac=（2a+3b）²-4ac=4a²+8ac+9b²=4（a+c）²+5c²，而a≠0，于是b²-4ac＞0，则方程必有两个不相等的实数根．
正确的是（2）、（3）、（4）．
故答案为：（2）（3）（4）．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．