Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5，则

BC

CD

=

 

．

Answer 1

分析：过点C作CE∥AD交AB于点E，再作EF∥CD交AD于点F，在Rt△AEF中，可将各边用含BC和CD的代数式表达出来，根据∠A=60°列出三角函数式代入求解．

解答：解：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E，再作EF∥CD交AD于点F，
设BC=a，CD=b，
在Rt△BCE中，∵AD∥CE，
∴∠CEB=∠A=60°，
可得BE=cot∠CEB×BC=

3

3

a，
CE=

BE2+BC2

=

2 3

3

a，
故AE=4-

3

3

a，
∵四边形CDFE为矩形，
∴DF=CE=

2 3

3

a，
∴AF=5-

2 3

3

a，
在Rt△AEF中，
∵cos∠A=

AF

AE

=

1

2

，
即

5- 2 3 3 a

4- 3 3 a

=

1

2

，
∴a=2

3

，
sin∠A=

EF

AE

=

3

2

，
即

b

4- 3 3 a

=

3

2

，
∴b=

3

∵BC=a=2

3

，CD=b=

3

，
∴

BC

CD

=2．

点评：本题通过作辅助线可在直角三角形内进行求解，综合应用了解直角三角形、直角三角形性质，考查了逻辑推理能力和运算能力．