Question

如图，在梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=14cm，AD=15cm，BC=24cm，点P 从A出发，沿AD边向D运动，速度为1cm/s，点Q从C出发，沿CB边向B运动，速度为2cm/s，其中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动．从运动开始，
（1）经过多少时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多少时间，四边形PQCD成为等腰梯形？
（3）在此过程中，四边形PQCD的面积是否有最大值？若存在，并求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要使四边形PQCD是平行四边形，只需满足DP=CQ即可，以此求得所用的时间；
（2）四边形PQCD成为等腰梯形，首先要掌握等腰梯形的性质，在运动过程中，当两腰相等时求得的时间即为所求；
（3）根据梯形面积公式以及PD，QC的长，结合一次函数最值得出即可．

解答：解：设时间为t秒，则DP=24-t，CQ=3t，
（1）当DP=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，
此时15-t=2t，
解得t=5（秒）；

（2）作DE⊥CB，E为垂足，
则CE=CB-DA=24-15=9，
∴当CQ-DP=18时，四边形PQCD为等腰梯形，且PD≠QC，
此时2t-（15-t）=18，
解得：t=11（秒）；

（3）四边形PQCD的面积有最大值，
设运动时间为t，四边形PQCD的面积为S，
则S=

1

2

×AB×（PD+QC）=7（15+t）=7t+105，
由题意：t的取值范围是0＜t≤12，
故当t=12时，四边形PQCD的面积最大，
所以四边形PQCD的面积有最大值为189．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的性质和一次函数的增减性等知识，根据已知得出S与t的函数关系式是解题关键．