题目内容
如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是 |
| AC |
（1）求证：△PAC∽△PDF；
（2）若AB=5，
|
| AP |
|
| BP |
（3）在点P运动过程中，设
| AG |
| BG |
考点：圆的综合题
专题：几何综合题,压轴题
分析：（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例．因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角∠DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得∠DPF=∠APC，则结论易证．
（2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的△PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则PD可求．
（3）因为题目涉及∠AFD与也在第一问所得相似的△PDF中，进而考虑转化，∠AFD=∠PCA，连接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，过G点作AB的垂线，若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所对的这条高线．但是“此线是否过PB与AC的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点P，观察我们的猜想．验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB与AC的交点是我们解题的关键．常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点H，然后连接交点与B，再证明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点．根据等弧对等角，可得∠HBG=∠PCA，进而得解题思路．
（2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的△PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则PD可求．
（3）因为题目涉及∠AFD与也在第一问所得相似的△PDF中，进而考虑转化，∠AFD=∠PCA，连接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，过G点作AB的垂线，若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所对的这条高线．但是“此线是否过PB与AC的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点P，观察我们的猜想．验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB与AC的交点是我们解题的关键．常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点H，然后连接交点与B，再证明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点．根据等弧对等角，可得∠HBG=∠PCA，进而得解题思路．
解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴AB是直径，
又∵AB⊥CD，
∵
=
，
∴∠DPF=180°-∠APD=180°-
所对的圆周角=180°-
所对的圆周角=
所对的圆周角=∠APC．
在△PAC和△PDF中，
，
∴△PAC∽△PDF．
（2）解：如图1，连接PO，则由
=
，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都为等腰直角三角形．
在Rt△ABC中，
∵AC=2BC，
∴AB2=BC2+AC2=5BC2，
∵AB=5，
∴BC=
，
∴AC=2
，
∴CE=AC•sin∠BAC=AC•
=2
•
=2，
AE=AC•cos∠BAC=AC•
=2
•
=4，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴EF=AE=4，
∴FD=FC+CD=（EF-CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．
∵△APO为等腰直角三角形，AO=
•AB=
，
∴AP=
．
∵△PDF∽△PAC，
∴
=
，
∴
=
，
∴PD=
．
（3）解：如图2，过点G作GH⊥AB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交⊙O于Q，
∵HC⊥CB，GH⊥GB，
∴C、G都在以HB为直径的圆上，
∴∠HBG=∠ACQ，
∵C、D关于AB对称，G在AB上，
∴Q、P关于AB对称，
∴
=
，
∴∠PCA=∠ACQ，
∴∠HBG=∠PCA．
∵△PAC∽△PDF，
∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，
∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=
．
∵HG=tan∠HAG•AG=tan∠BAC•AG=
•AG=
•AG，
∴y=
•
=
x．
∴AB是直径，
又∵AB⊥CD，
∵
|
| AC |
|
| AD |
∴∠DPF=180°-∠APD=180°-
|
| AD |
|
| AC |
|
| ADC |
在△PAC和△PDF中，
|
∴△PAC∽△PDF．
（2）解：如图1，连接PO，则由
|
| AP |
|
| BP |
在Rt△ABC中，
∵AC=2BC，
∴AB2=BC2+AC2=5BC2，
∵AB=5，
∴BC=
| 5 |
∴AC=2
| 5 |
∴CE=AC•sin∠BAC=AC•
| BC |
| AB |
| 5 |
| ||
| 5 |
AE=AC•cos∠BAC=AC•
| AC |
| AB |
| 5 |
2
| ||
| 5 |
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴EF=AE=4，
∴FD=FC+CD=（EF-CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．
∵△APO为等腰直角三角形，AO=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴AP=
5
| ||
| 2 |
∵△PDF∽△PAC，
∴
| PD |
| FD |
| PA |
| CA |
∴
| PD |
| 6 |
| ||||
2
|
∴PD=
3
| ||
| 2 |
（3）解：如图2，过点G作GH⊥AB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交⊙O于Q，
∵HC⊥CB，GH⊥GB，
∴C、G都在以HB为直径的圆上，
∴∠HBG=∠ACQ，
∵C、D关于AB对称，G在AB上，
∴Q、P关于AB对称，
∴
|
| AP |
|
| AQ |
∴∠PCA=∠ACQ，
∴∠HBG=∠PCA．
∵△PAC∽△PDF，
∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，
∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=
| HG |
| BG |
∵HG=tan∠HAG•AG=tan∠BAC•AG=
| BC |
| AC |
| 1 |
| 2 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| AG |
| BG |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结．总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路．
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A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
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