Question

如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=8cm，BC=18cm，CD=10，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒，联结PQ．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）在P、Q的运动过程中，当t取何值时，线段PQ与CD相等？
（3）当t=2时，在线段AB上是否存在一点M，使得∠QPM=90°？若存在，请求BM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）如图1，过D作DE⊥BC于E，构建矩形ADEB和直角△DEC．利用矩形的性质和勾股定理易求AD=12，然后根据梯形面积公式进行解答；
（2）需要分类讨论：四边形PCDQ为平行四边形和等腰梯形两种情况；
（3）存在．t=2时，BP=6，AQ=12-4=8．设BM=x，则AM=8-x．由勾股定理知：PM²+PQ²=MQ²，即6²+x²+68=8²+（8-x）²，易求BM=

3

2

cm．

解答：解：（1）如图1，过D作DE⊥BC于E．
∵梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，
∴DE∥AB．
∴四边形ABCD是矩形．
∴DE=AB=8，AD=BE．
在Rt△DEC中，由勾股定理，得
EC=

DC2-DE2

=

102-82

=6
∴BE=AD=18-6=12，
∴S梯=

1

2

(AD+BC)•AB=

1

2

(12+18)×8=120；

（2）在四边形PCDQ中，DQ∥PC，而PQ=DC．
①如图2，当四边形PCDQ是平行四边形时，DQ=PC，则2t=18-3t，
解得 t=

18

5

；
②如图3，当四边形PCDQ是等腰梯形时，过Q作QF⊥BC．
则DQ=EF，2t=18-3t-6-6，
解得 t=

6

5

．
综上所述，当t=

18

5

或

6

5

秒时，线段PQ与CD相等．
另解：作QF⊥BC于F，则AQ=BF=12-2t，
∴PF=|12-2t-3t|=|12-5t|，
∴PQ²=（12-5t）²+8²．
∵PQ=CD，
∴（12-5t）²+8²=10²．
解得 t1=

18

5

t2=

6

5

．
∴t=

18

5

秒或

6

5

秒时，线段PQ与CD相等．

（3）存在．t=2时，BP=6，AQ=12-4=8．
设BM=x，则AM=8-x，
∴PM²=6²+x²，MQ²=8²+（8-x）²，PQ²=（12-5t）²+8²=68，
∵∠MPQ=90°，
∴PM²+PQ²=MQ²，
即 6²+x²+68=8²+（8-x）²，
解得x=

3

2

．
∴BM=

3

2

cm．

点评：本题综合考查了梯形的面积公式，矩形的性质，勾股定理以及平行四边形的判定与性质等综合知识，难度较大，需要学生对四边形的知识有一个系统的掌握．