Question

10．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）概念理解：
如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）问题探究：
①小红猜想：对角线互相垂直的“等邻边四边形”一定是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=4，BC=2，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结BA′，CC′，小红要使平移后的四边形A′BCC′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB′的长）？

Answer 1

分析 （1）根据定义添加一组邻边相等即可；
（2）①通过举反例的办法，判断该命题是假命题；
②分类讨论．当A′C′=CC′时，计算BB′；当BC=CC′时，计算BB′；当A′C′=A′B时，计算BB′；说明BC不可能等于A′B．

解答 解：（1）AB=BC或BC=CD或AD=CD或AB=AD．
答案：AB=AD．
（2）①不正确．
如下图所示，虽然BD⊥AC，AB=AD，但该四边形不是菱形．

②由平移可知：BB′∥CC′，且BB′=CC′，
∴四边形B′BCC′是平行四边形．

当BC=CC′=2时，此时BB′=2；
当A′C′=CC′=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$时，BB′=2$\sqrt{5}$；
当A′C′=AB′=2$\sqrt{5}$时，延长A′B′交BC延长线于D．设BD=x

由于AB∥A′B′，
∴∠A′DB=90°，△A′DB是直角三角形．
又∵BB′是∠ABC的角平分线，
∴∠B′BD=∠BB′D=45°，∴B′D=BD=x．
∴A′B²=BD²+A′D²，即（x+4）²+x²=20，解得x=$\sqrt{6}$-2．
而BB′=$\sqrt{2}$x=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$．
Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到RT△A′B′C′，
∴∠AB′B=135°，在钝角△AB′B中，
∵A′B＞A′B′=4，A′B′＞B′C′=BC，
∴A′B＞BC．即A′B不可能等于BC．
∴BB′=2，2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$时，四边形A′BCC′是“等邻边四边形”．

点评 点评：本题是新定义类探究题，主要考察了平行四边形的性质、菱形的判定．解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用平移的性质并构造直角三角形是关键．